Concours Médecine 2023 Mathématiques

Question 1

Dans l'ensemble $C$, si $z = \sqrt{5} e^{-\frac{i\pi}{8}}$, alors :

A) $z = \frac{\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2} - \frac{i\sqrt{10-5\sqrt{2}}}{2}$ B) $z = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - \frac{i\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ C) $z = \frac{\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2} + \frac{i\sqrt{10-5\sqrt{2}}}{2}$ D) $z = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + \frac{i\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ E) $z = \frac{\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2} - \frac{i\sqrt{10+5\sqrt{2}}}{2}$

Question 2

Le nombre complexe $z = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - i\sqrt{3}) \right)^{10}$ est égale à :

A) z = -512 B) $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$ C) z = 512 D) z = 251 E) $z = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Question 3

Pour $z \in \mathbb{C} \setminus \{1\}$, l'ensemble des points M d'affixes $z$ tels que $\frac{z+1}{z-1}$ est imaginaire est :

A) La droite (Ox) privée du point (1,0) B) La droite (Oy) privée du point (0,1) C) Le cercle de centre O et de rayon 1 D) La droite (Ox) E) Le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point (1,0)

Question 4

$(U_n)_{n≥2}$ est la suite définie par $U_n = \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) \times \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \times \ldots \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$, $n \geq 2$. $\lim_{n \to +\infty} (U_n)$ est égale à :

A) 1 B) 0 C) $+\infty$ D) $\frac{1}{2}$ E) la limite n'existe pas

Question 5

$(U_n)_{n≥1}$ et $(V_n)_{n≥1}$ sont deux suites définies par : $U_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \ldots \frac{1}{2^n}$ ; $\ln(V_n) = U_n \ln(2)$

A) $\lim_{n \to +\infty} U_n = 1$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = \ln(2)$ B) $\lim_{n \to +\infty} U_n = \frac{1}{2}$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = \ln(2)$ C) $\lim_{n \to +\infty} U_n = 2$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = 1$ D) $\lim_{n \to +\infty} U_n = \frac{1}{2}$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = 2$ E) $\lim_{n \to +\infty} U_n = 1$ et $\lim_{n \to +\infty} V_n = 2$

Question 6

Soit f une fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ par : $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2\sqrt{x}}}$. La $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ est égale à :

A) $+\infty$ B) 0 C) 1 D) $\frac{1}{2}$ E) f n'admet pas de limite en $0^+$

Question 7

Soit g une fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ : $g(x) = \frac{(2x)^x}{(x)^{2x}}$, pour tout $x > 0$. La $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ est égale à :

A) $+\infty$ B) 1 C) 2 D) 0 E) g n'admet pas de limite en $+\infty$

Question 8

f est une fonction réelle, sachant que $f(1) = 3$ et $f'(1) = -3$. La courbe de la fonction f admet au point (1,3) une tangente d'équation :

A) $y = 3x - 2$ B) $y = 3x - 6$ C) $y = -3x + 6$ D) $y = 3x$ E) $y = -3x + 2$

Question 9

Soit f et g deux fonctions réelles telle que : $f(x) = \ln (x - 1)$ et $g(x) = \sqrt{x + 1}$. Le domaine de définition de $g \circ f$ est :

A) $[-1, +\infty]$ B) $]1, +\infty]$ C) $[1 + \frac{1}{e}, +\infty]$ D) $]e, +\infty]$ E) $]-e, +\infty]$

Question 10

L'intégrale $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin x \tan x} \, dx$ est égale à :

A) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B) $2 - \sqrt{2}$ C) $\sqrt{2} - 2$ D) $\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}$ E) $1 - \sqrt{2}$

Question 11

L'intégrale $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} \, dx$ est égale à :

A) 0 B) $\ln(2) + 1$ C) $\ln(2)$ D) 1 E) $-\ln(2)$

Question 12

Soit ( P ) et (P' ) deux plans d'équations P : $x - y - z + 2 = 0$ ; P' : $x + z - 2 = 0$ respectivement et (Δ) la droite telle que :
$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 - t \end{cases}$ (t ∈ ℝ)

A) (Δ) ⊂ P B) (Δ) ⊥ P C) (Δ) ∩ P = ∅ D) (Δ) ∩ P' = ∅ E) (Δ) ⊥ P'

Question 13

Soit $f(x) = \begin{cases} x + x^2 \sin \frac{1}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}$

A) f n'est pas dérivable en 0 B) $f' (0) = 0$ C) $f' (0) = 1$ D) Pour $x \neq 0$, $f'(x) = 1 + 2x \sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x}$ E) f est dérivable en 0 et $f'(0) = 2$

Question 14

Soit une urne qui contient 5 boules bleues, 4 boules blanches et 3 boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire simultanément 3 boules au hasard de l'urne. On répète cette expérience n fois de suite (n ≥ 5) en remettant dans l'urne les boules tirées après chaque tirage. Quelle est la probabilité d'obtenir 3 boules de couleurs 2 à 2 distinctes (n-1) fois exactement ?

A) $\frac{8 \times 3^n}{11^n}$ B) $\frac{8n \times 3^n}{11^n}$ C) $\frac{8n \times 3^{n-1}}{11^n}$ D) $\frac{8^n \times 3^{n-1}}{11^n}$ E) $\frac{8 \times 3^n}{11^{n-1}}$

Concours de Médecine 2023

Épreuve de Mathématiques